Question

圆的切线与x轴正半轴，y轴正半轴围成一个三角形，当该三角形面积最小时，切点为P（如图），双曲线过点P且离心率为.
（1）求的方程；
（2）椭圆过点P且与有相同的焦点，直线过的右焦点且与交于A，B两点，若以线段AB为直径的圆心过点P，求的方程.

Answer 1

（1）；（2） ，或..

解析试题分析：（1）设切点坐标为，则切线斜率为，切线方程为，即，此时，两个坐标轴的正半轴与切线围成的三角形面积为.由知当且仅当时有最大值，即S有最小值，因此点P得坐标为 ，由题意知解得，即可求出的方程；（2） 由（1）知的焦点坐标为，由此的方程为，其中.
由在上，得，显然，l不是直线y=0.设l的方程为x=my+，点由 得，因由题意知，所以 ，将韦达定理得到的结果代入式整理得，解得或，即可求出直线l的方程.
（1）设切点坐标为，则切线斜率为，切线方程为，即，此时，两个坐标轴的正半轴与切线围成的三角形面积为.由知当且仅当时有最大值，即S有最小值，因此点P得坐标为 ，
由题意知
解得，故方程为.
（2）由（1）知的焦点坐标为，由此的方程为，其中.
由在上，得，
显然，l不是直线y=0.设l的方程为x=my+，点
由 得，又是方程的根，因此 ，由得
因由题意知，所以 ，将①，②，③，④代入⑤式整理得，解得或，因此直线l的方程为，或.
考点：1.椭圆的方程；2.直线与椭圆的位置关系.