Question

已知椭圆的离心率，分别为椭圆的长轴和短轴的端点，为中点，为坐标原点，且.
（1）求椭圆的方程；
（2）过点的直线交椭圆于两点，求面积最大时，直线的方程.

Answer 1

（1）；（2）直线的方程为.

解析试题分析：（1）利用椭圆的性质，弦长可得，，由此可求，故椭圆的方程为；
（2）根据直线与椭圆的位置关系，设直线的方程为，联立方程得，所以可写出
设，则，则，其中，易证单调减，当时，的最大值为.所以，此时，直线的方程为.
（1）∵∴①                    2分

∴    ②，
∴由①②得
∴椭圆的方程为                    4分
（2）设直线的方程为
由
                   7分



设，则
则，其中
易证单调减，当时，的最大值为         10分
∴
此时，直线的方程为        12分
考点：椭圆的性质、椭圆的标准方程、直线与椭圆的位置关系、韦达定理、三角形的面积公式、勾函数的性质、换元法.