Question

已知椭圆点，离心率为，左右焦点分别为
（1）求椭圆的方程；
（2）若直线与椭圆交于两点，与以为直径的圆交于两点，且满足，求直线的方程.

Answer 1

（1）＋＝1（2）y＝－x＋或y＝－x－.

解析试题分析：（1）由题意可得=，=，结合，解出即可即可得到椭圆方程．
（2）由题意可得以F₁F₂为直径的圆的方程为x²+y²=1．利用点到直线的距离公式可得：圆心到直线的距离d及d＜1，可得m的取值范围．利用弦长公式可得|CD|=2．设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．把直线l的方程与椭圆的方程联立消去化为关于的一元二次方程，根据是对应方程的两根，所根据根与系数的关系，将与用表示出来，利用弦长|AB|=将弦长|AB|用m表示出来，列出关于m的方程，解出m，求得出直线的方程.
试题解析： (1)由题设知，解得
∴椭圆的方程为＋＝1.
(2)由题设，以F₁F₂为直径的圆的方程为x²＋y²＝1，
∴圆心(0，0)到直线l的距离d＝.
由d<1，得|m|<，(*)
∴|CD|＝2＝2＝.
设A(x₁，y₁)，B(x₂，y₂)，
由，得x²－mx＋m²－3＝0，
由根与系数的关系得x₁＋x₂＝m，x₁x₂＝m²－3，
∴|AB|＝＝.
由＝，得＝1，
解得m＝±，满足(*)．
∴直线l的方程为y＝－x＋或y＝－x－.
考点：椭圆的标准方程与性质，直线与椭圆的位置关系，圆的方程，直线与圆的位置关系，运算求解能力