Question

已知点、为双曲线：的左、右焦点，过作垂直于轴的直线，在轴上方交双曲线于点，且，圆的方程是.
（1）求双曲线的方程；
（2）过双曲线上任意一点作该双曲线两条渐近线的垂线，垂足分别为、，求的值；
（3）过圆上任意一点作圆的切线交双曲线于、两点，中点为，求证:.

Answer 1

（1）；（2）；（3）详见解析.

解析试题分析：（1）作出解题所需图形，对照图形和双曲线的定义不难解决此问题；（2）按照数量积的定义即需求模和夹角，这都可以通过解析几何的工具性知识在形式上得到表示，然后通过设而不求和整体思想得以解决；（3）通过分析可将等式的证明转化为垂直关系的判定，仍然运用设而不求和整体思想来解决，注意要对直线的斜率是否存在分情况讨论，这样解题才严谨.
试题解析：（1）设、的坐标分别为、
因为点在双曲线上，所以，即，所以 
在中，，，所以            2分
由双曲线的定义可知：
故双曲线的方程为：                                       4分
（2）由条件可知：两条渐近线分别为，          5分
设双曲线上的点，设的倾斜角为，则
则点到两条渐近线的距离分别为，      7分
因为在双曲线上，所以
又，从而
所以       10分
（3）由题意，即证：.
设，切线的方程为：，且       11分
①当时，将切线的方程代入双曲线中，化简得：

所以：
又     13分
所以     15分
②当时，易知上述结论也成立． 所以   &n