Question

如图，椭圆的离心率为，轴被曲线截得的线段长等于的短轴长.与轴的交点为，过坐标原点的直线与相交于点，直线分别与相交于点.

（Ⅰ）求、的方程；
（Ⅱ）求证：；
（Ⅲ）记的面积分别为，若，求的取值范围.

Answer 1

（Ⅰ）,；（Ⅱ）详见解析；（Ⅲ）.

解析试题分析：（Ⅰ）曲线方程与性质的互求遵循：定型、定位、定量，这里关键是定量；（Ⅱ）解析几何中垂直关系的证明，主要是用向量的数量积为零来处理，而从斜率处理就涉及到斜率的存在与否不是很好，而数量积的计算常用的坐标形式，这样就和解析几何的思想解析法挂上了钩；（Ⅲ）首先要设变量，用变量来表示，进而表示，这一转化过程必须用解析法完成，注意运算能力的培养，接下来运用函数或不等式的知识来求范围即可.
试题解析：（Ⅰ）  又，解得，.
（Ⅱ）依题意有，设直线，
则，有

.
（Ⅲ）设直线；
，解得或，同理可得
.
解得或，，同理可得

，即.
考点：1.圆锥曲线的方程和性质；2.直线与曲线的综合.