Question

已知椭圆Γ：(a＞b＞0)经过D(2，0)，E(1，)两点.
(1)求椭圆Γ的方程；
(2)若直线与椭圆Γ交于不同两点A，B，点G是线段AB中点，点O是坐标原点，设射线OG交Γ于点Q，且.
①证明：
②求△AOB的面积.

Answer 1

(1)；(2)

解析试题分析：(1)由已知M是PD的中点，利用P点在圆上，可以求出M的点轨迹方程为；(2)点Q在(1)中的椭圆上，G是OQ的中点，利用直线与椭圆的关系及中点坐标公式，即可找到k与m的关系，并进一步求出三角形AOB的面积.
试题解析：(1)由题意，得，解得
∴轨迹Γ的方程为；          5分
(2)①令
由消去y
得          6分
∴，即  (1)
∴
又由中点坐标公式，得
将代入椭圆方程，有
化简得：  (2)          9分
②由(1)(2)得
且  (3)
在△AOB中，  (4)          12分
∴由(2)(3)(4)可得
∴△AOB的面积是              13分
考点：动点轨迹，直线与椭圆的位置关系，中点坐标，平面向量的坐标运算，三角形的面积.