Question

2．已知不等式x³+x²-b$≤\frac{{e}^{x}+2ex}{ex}$对?x∈（0，1]恒成立，则实数b的取值范围是（　　）

• A． [-1，+∞）
• B． [1，+∞）
• C． [-1，1]
• D． （-∞，-1]

Answer 1

分析 设f（x）=x³+x²-b，x∈（0，1]，g（x）=$\frac{{e}^{x}+2ex}{ex}$，x∈（0，1]，分别求出导数，判断单调性，可得最值，由f（x）的最大值小于等于g（x）的最小值，解不等式即可得到b的范围．

解答 解：设f（x）=x³+x²-b，x∈（0，1]，
可得f′（x）=3x²+2x＞0在（0，1]恒成立，
可得f（x）在（0，1]递增，
f（1）取得最大值2-b；
设g（x）=$\frac{{e}^{x}+2ex}{ex}$，x∈（0，1]，
则g′（x）=$\frac{{e}^{x}（x-1）}{e{x}^{2}}$，
可得g′（x）≤0在（0，1]恒成立，
g（x）在（0，1]递减，
g（1）取得最小值3，
则2-b≤3，
解得b≥-1．
故选：A．

点评 本题考查不等式恒成立问题的解法，注意运用构造函数法，由导数判断单调性，转化为最值的关系，考查运算能力，属于中档题．