Question

1．设数列{a_n}满足a_n+1=a_n+4，且a₁=2，{b_n}为等比数列，且a₁=b₁，b₂（a₂-a₁）=b₁．
（1）求数列{a_n}和{b_n}的通项公式；
（2）设c_n=$\frac{{a}_{n}}{{b}_{n}}$，求数列{c_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （1）数列{a_n}是公差d=a_n+1-a_n=4，首项a₁=2的等差数列，由此能求出a_n，由{b_n}为等比数列，且a₁=b₁，b₂（a₂-a₁）=b₁，求出首项与公比，由此能出{b_n}的通项公式．
（2）由c_n=$\frac{{a}_{n}}{{b}_{n}}$=$\frac{4n-2}{2×（\frac{1}{4}）^{n-1}}$=（2n-1）×4^n-1，利用错位相减法能求出数列{c_n}的前n项和．

解答 解：（1）∵数列{a_n}满足a_n+1=a_n+4，且a₁=2，
∴数列{a_n}是公差d=a_n+1-a_n=4，首项a₁=2的等差数列，
∴a_n=2+（n-1）×4=4n-2．
∵{b_n}为等比数列，且a₁=b₁，b₂（a₂-a₁）=b₁．
∴b₁=a₁=2，${b}_{2}=\frac{{b}_{1}}{{a}_{2}-{a}_{1}}$=$\frac{2}{（4×2-2）-2}$=$\frac{1}{2}$，
∴q=$\frac{{b}_{2}}{{b}_{1}}$=$\frac{\frac{1}{2}}{2}$=$\frac{1}{4}$，
∴b_n=2×（$\frac{1}{4}$）^n-1．
（2）∵c_n=$\frac{{a}_{n}}{{b}_{n}}$=$\frac{4n-2}{2×（\frac{1}{4}）^{n-1}}$=（2n-1）×4^n-1，
∴数列{c_n}的前n项和：
T_n=1×4⁰+3×4¹+5×4²+…+（2n-1）×4^n-1，①
4T_n=1×4+3×4²+5×4³+…+（2n-1）×4ⁿ，②
①-②，得：
-3T_n=1+2（4+4²+4³+…+4^n-1）-（2n-1）×4ⁿ
=1+2×$\frac{4（1-{4}^{n-1}）}{1-4}$-（2n-1）×4ⁿ
=（$\frac{5}{3}-2n$）×4ⁿ-$\frac{5}{3}$，
∴T_n=（$\frac{2n}{3}-\frac{5}{9}$）×4ⁿ+$\frac{5}{9}$．

点评 本题考查数列的通项公式的求法，考查数列的前n项和的求法，考查等比数列、等差数列、错位相减法等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题．