Question

6．直线l在双曲线$\frac{{x}^{2}}{3}$-$\frac{{y}^{2}}{2}$=1上截得的弦长为4，且l的斜率为2，求直线l的方程．

Answer 1

分析 设直线l方程为y=2x+b，联立方程组求出交点坐标的关系，利用弦长公式列方程解出b即可得出结论．

解答 解：设直线l的方程为y=2x+b，
联立方程组$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{x}^{2}}{3}-\frac{{y}^{2}}{2}=1}\\{y=2x+b}\end{array}\right.$，消元得：10x²+12bx+3b²+6=0，
设直线l与双曲线的交点为A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
则x₁+x₂=-$\frac{6b}{5}$，x₁x₂=$\frac{3{b}^{2}+6}{10}$，
∴|AB|=$\sqrt{5}$$\sqrt{\frac{36{b}^{2}}{25}-\frac{6{b}^{2}+12}{5}}$=4，
解得b=±$\frac{\sqrt{210}}{3}$．
∴直线l的方程为：y=2x+$\frac{\sqrt{210}}{3}$或y=2x-$\frac{\sqrt{210}}{3}$．

点评 本题考查了直线与双曲线的位置关系，弦长公式，属于中档题．