Question

18．数列{a_n}是各项为正的等比数列，首项a₁=$\frac{1}{3}$，前3项的和S₃=$\frac{13}{27}$．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）设a_n•b_n=n，求数列{b_n}的前n项和S_n．

Answer 1

分析 （Ⅰ）设等比数列{a_n}的公比为q，利用等比数列前n项和公式列出方程，求出公比$q=\frac{1}{3}$，由此能求出等比数列{a_n}的通项公式．
（Ⅱ）由a_n•b_n=n，知${b_n}=n•{3^n}$，由此利用错位相减法能求出数列{b_n}的前n项和．

解答 （本题满分12分）
解：（Ⅰ）设等比数列{a_n}的公比为q，
则由首项${a_1}=\frac{1}{3}$，前3项的和${S_3}=\frac{13}{27}$，
得${S_3}={a_1}+{a_2}+{a_3}=\frac{1}{3}+\frac{1}{3}q+\frac{1}{3}{q^2}=\frac{13}{27}$，
整理得9q²+9q-4=0，解得$q=\frac{1}{3}$或$q=-\frac{4}{3}$（舍去）．
∴等比数列{a_n}的通项${a_n}={a_1}{q^{n-1}}=\frac{1}{3^n}$． …（5分）
（Ⅱ）由a_n•b_n=n，知${b_n}=n•{3^n}$，
则数列{b_n}的前n项和S_n满足${S_n}=3+2•{3^2}+3•{3^3}+…+n•{3^n}$，①
等式两边同乘以3，得$3{S_n}={3^2}+2•{3^3}+3•{3^4}+…+（{n-1}）•{3^n}+n•{3^{n+1}}$，②
①、②两式错位相减，
有$-2{S_n}=3+{3^2}+{3^3}+…+{3^n}-n•{3^{n+1}}=\frac{{3（{1-{3^n}}）}}{1-3}-n•{3^{n+1}}$，
整理得数列{b_n}的前n项和${S_n}=\frac{3}{4}+（\frac{n}{2}-\frac{1}{4}）{3^{n+1}}$．…（12分）

点评 本题考查等比数列的通项公式的求法，考查数列的前n项和的求法，考查等比数列、错位相减法等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题．