Question

8．如图：已知抛物线 C₁：y²=2px （p＞0），直线 l 与抛物线 C 相交于 A、B 两点，且当倾斜角为 60°的直线 l 经过抛物线 C1 的焦点 F 时，有|AB|=$\frac{1}{3}$．
（Ⅰ）求抛物线 C 的方程；
（Ⅱ）已知圆 C₂：（x-1）²+y²=$\frac{1}{16}$，是否存在倾斜角不为 90°的直线 l，使得线段 AB 被圆 C₂ 截成三等分？若存在，求出直线 l 的方程；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （I）联立方程组，利用根与系数的关系和抛物线的性质列方程解出p；
（II）设直线l方程为x=my+b，与抛物线方程联立，求出AB的中点坐标，利用垂径定理列方程得出m，b的关系，利用弦长公式计算|AB|，|CD|，根据|AB|=3|CD|列方程求出m得出直线l的方程．

解答 解：（I）当直线l的倾斜角为60°时，直线l的方程为y=$\sqrt{3}$（x-$\frac{p}{2}$），
联立方程组$\left\{\begin{array}{l}{y=\sqrt{3}（x-\frac{p}{2}）}\\{{y}^{2}=2px}\end{array}\right.$，消元得3x²-5px+$\frac{3{p}^{2}}{4}$=0，
∴|AB|=$\frac{5p}{3}$+p=$\frac{1}{3}$，解得p=$\frac{1}{8}$，
∴抛物线C的方程为y²=$\frac{x}{4}$．
（II）假设存在直线l，使得AB被圆C₂三等分，设直线l与圆C₂的交点为C，D，
设直线l的方程为x=my+b，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
联立方程组$\left\{\begin{array}{l}{{y}^{2}=\frac{x}{4}}\\{x=my+b}\end{array}\right.$，得4y²-my-b=0，
∴y₁+y₂=$\frac{m}{4}$，y₁y₂=-$\frac{b}{4}$，∴x₁+x₂=m（y₁+y₂）+2b=$\frac{{m}^{2}}{4}$+2b，
∴AB的中点坐标为M（$\frac{{m}^{2}}{8}$+b，$\frac{m}{8}$），
又圆C₂的圆心为C₂（1，0），∴k${\;}_{M{C}_{2}}$=$\frac{\frac{m}{8}}{\frac{{m}^{2}}{8}+b-1}=-m$，
即m²+8b-7=0，∴b=$\frac{7-{m}^{2}}{8}$．
又|AB|=$\sqrt{1+{m}^{2}}•$$\sqrt{\frac{{m}^{2}}{16}+b}$=$\frac{1}{4}$$\sqrt{1+{m}^{2}}$$\sqrt{14-{m}^{2}}$．
∵圆心C₂（1，0）到直线l的距离d=$\frac{|1-b|}{\sqrt{1+{m}^{2}}}$，圆C₂的半径为$\frac{1}{4}$，
∴|CD|=2$\sqrt{\frac{1}{16}-\frac{（1-b）^{2}}{1+{m}^{2}}}$=$\frac{\sqrt{3-{m}^{2}}}{4}$，
又|AB|=$\sqrt{1+{m}^{2}}•$$\sqrt{\frac{{m}^{2}}{16}+b}$=$\frac{1}{4}$$\sqrt{1+{m}^{2}}$$\sqrt{14-{m}^{2}}$．C，D为AB的三等分点，
∴|AB|=3|CD|，
∴$\frac{1}{4}$$\sqrt{1+{m}^{2}}$$\sqrt{14-{m}^{2}}$=$\frac{3\sqrt{3-{m}^{2}}}{4}$，解得m=±$\sqrt{11-6\sqrt{3}}$，∴b=$\frac{3\sqrt{3}-2}{4}$．
∴直线l的方程为y=±$\sqrt{11-6\sqrt{3}}$x+$\frac{3\sqrt{3}-2}{4}$．

点评 本题考查了抛物线的性质，直线与抛物线的位置关系，属于中档题．