Question

13．已知函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{2}{x}-\frac{1}{e}，x＜0}\\{\frac{lnx}{x}，x＞0}\end{array}\right.$若关于x的方程f（x）=t有三个不同的解，其中最小的解为a，则$\frac{t}{a}$的取值范围为（-$\frac{1}{{e}^{2}}$，0）．

Answer 1

分析 判断f（x）的单调性，计算极值，作出f（x）的函数图象，根据图象得出t的范围，求出a，即可得出$\frac{t}{a}$关于t的函数，求出此函数的值域即可．

解答 解：当x＜0时，f（x）为增函数，且当x→-∞时，f（x）→-$\frac{1}{e}$．
当x＞0时，f′（x）=$\frac{1-lnx}{{x}^{2}}$，
∴当0＜x＜e时，f′（x）＞0，f（x）单调递增，
当x＞e时，f′（x）＜0，f（x）单调递减，
又当x→0时，f（x）→-∞，当x→+∞时，f（x）→0，
∴当x=e时，f（x）取得极大值f（e）=$\frac{1}{e}$．
作出f（x）在定义域的函数图象如图所示：

∵f（x）=t有三解，∴0$＜t＜\frac{1}{e}$，
令-$\frac{2}{x}-\frac{1}{e}$=t得x=-$\frac{2}{t+\frac{1}{e}}$，即a=-$\frac{2}{t+\frac{1}{e}}$，
∴$\frac{t}{a}$=-$\frac{{t}^{2}}{2}$-$\frac{t}{2e}$，
令g（t）=-$\frac{{t}^{2}}{2}$-$\frac{t}{2e}$，则g（t）在（0，$\frac{1}{e}$）上单调递减，
∴-$\frac{1}{{e}^{2}}$＜g（t）＜0．
故答案为：$（-\frac{1}{e^2}，0）$．

点评 本题考查了方程的根的个数与函数图象的关系，函数值域的求法，属于中档题．