Question

4．已知函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{|lo{g}_{3}x|，0＜x≤3}\\{\frac{1}{8}{x}^{2}-\frac{3}{2}x+\frac{35}{8}，x＞3}\end{array}\right.$，若函数g（x）=f（x）-m存在4个不同的零点x₁，x₂，x₃，x₄，则实数m的取值范围是（0，1），x₁•x₂•x₃•x₄的取值范围是（27，35）．

Answer 1

分析 作出f（x）的函数图象，根据图象得出m和各零点的范围，根据对数运算性质和二次函数的对称性得出x₁•x₂•x₃•x₄关于x₃的函数，从而求得x₁•x₂•x₃•x₄的最值．

解答 解：作出f（x）的函数图象如图所示：

由图象可知当0＜m＜1时，方程f（x）=m有4个解，
设g（x）的4个零点从小到大为x₁＜x₂＜x₃＜x₄，
则x₁x₂=1，x₃+x₄=12，且3＜x₃＜5，
∴x₁x₂x₃x₄=x₃x₄=x₃（12-x₃）=-x₃²+12x₃，
设h（x）=-x²+12x，x∈（3，5），则h（x）在（3，5）上单调递增，
又h（3）=27，h（5）=35，
∴27＜h（x）＜35．
即27＜x₁x₂x₃x₄＜35．
故答案为：（0，1），（27，35）．

点评 本题考查了函数零点与函数图象的关系，函数最值的计算，属于中档题．