Question

20．在（x+2）⁸展开式中，只有第5项的二项式系数最大
（1）若$（a-\frac{1}{x}）{（x+2）^n}$的展开式中常数项的系数为1024，求a的值
（2）求（x+2）⁸展开式所有含x奇次幂的系数和．

Answer 1

分析 （1）由题意利用二项式系数的性质求得n的值，再利用二项展开式的通项公式，求得a的值．
（2）在 （x+2）⁸=${C}_{8}^{0}$•x⁸+${C}_{8}^{1}$•x⁷•2+${C}_{8}^{2}$•x⁶•2²+…+${C}_{8}^{8}$•2⁸ 中，分别令x=1，x=-1，得到2个式子，相减可得要求式子的值．

解答 解：（1）在（x+2）ⁿ展开式中，只有第5项的二项式系数最大，所以n=8，
在$（a-\frac{1}{x}）{（x+2）^n}$=（a-$\frac{1}{x}$）•（x+2）⁸=（a-$\frac{1}{x}$）•（${C}_{8}^{0}$•x⁸+${C}_{8}^{1}$•x⁷•2+${C}_{8}^{2}$•x⁶•2²+…+${C}_{8}^{8}$•2⁸），
故展开式中常数项为a•${C}_{8}^{8}$•2⁸-${C}_{8}^{7}$•2⁷=1024，解得a=8．
（2）在 （x+2）⁸=${C}_{8}^{0}$•x⁸+${C}_{8}^{1}$•x⁷•2+${C}_{8}^{2}$•x⁶•2²+…+${C}_{8}^{8}$•2⁸ 中，
令x=1，则3⁸=a₀+a₁+a₂+a₃+…+a₇+a₈，
令x=-1，则1=a₀-a₁+a₂-a₃+…-a₇+a₈ ，
两式相减得：2（a₁+a₃+a₅+a₇）=3⁸-1，
∴a₁+a₃+a₅+a₇=$\frac{{3}^{8}-1}{2}$=3280．

点评 本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，注意根据题意，分析所给代数式的特点，通过给二项式的x赋值，求展开式的系数和，可以简便的求出答案，属于基础题．