Question

13．已知x=1是f（x）=$\left\{{\begin{array}{l}{（{x^2}+ax）{e^x}，x＞0}\\{bx，x≤0}\end{array}}$函数的极值点．
（Ⅰ）求的a值；
（Ⅱ）函数y=f（x）-m有2个零点，求m的范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出函数的导数，是f′（1），得到关于a的方程，解出即可；
（Ⅱ）求出函数的导数，求出f（x）的最小值，通过讨论b的范围，结合函数的图象求出m的范围即可．

解答 解：（Ⅰ）∵x＞0时，f′（x）=（x²+ax+2x+a）e^x，
∴f′（1）=（3+2a）e，
由题意得f′（1）=0，故a=-$\frac{3}{2}$．
（Ⅱ）由（Ⅰ）f（x）=（x²-$\frac{3}{2}$x）e^x，
问题可转化为y=f（x）与y=m图象有2个交点，
x＞0时，f（x）=（x²-$\frac{3}{2}$x）e^x，
∴f′（x）=（x²+$\frac{1}{2}$x-$\frac{3}{2}$）e^x．
令f′（x）=0得x=1或x=-$\frac{3}{2}$（舍），
∴f（x）在（0，1）上递减，在（1，+∞）上递增，
∴当x＞0时，f（x）_min=f（1）=-$\frac{e}{2}$，
①当b＜0时，f（x）的草图如图①：

故m＞-$\frac{e}{2}$时满足题意；                                                 
②当b=0时f（x）的草图如图②：

故-$\frac{e}{2}$＜m＜0时满足题意；                                                 
③当b＞0时f（x）的草图如图③：

故m=-$\frac{e}{2}$或m=0时满足题意；
综上所述：当b＜0时，m＞-$\frac{e}{2}$；
当b=0时，-$\frac{e}{2}$＜m＜0；
当b＞0时，m=-$\frac{e}{2}$或m=0．

点评 本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，转化思想，是一道中档题．