Question

2．在长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AA₁=6，AB=3，AD=8，点M是棱AD的中点，N在棱AA₁上，且满足AN=2NA₁，P是侧面四边形ADD₁A₁内一动点（含边界），若C₁P∥平面CMN，则线段C₁P长度最小值是（　　）

• A． $\sqrt{17}$
• B． 4
• C． $\sqrt{15}$
• D． 3

Answer 1

分析 取A₁D₁中点E，在DD₁上取点F，使D₁F=2DF，连结EF、C₁E、C₁F，则平面CMN∥平面C₁EF，由此推导出P∈线段EF，当P与EF的中点O重合时，线段C₁P长度取最小值PO，当P与点E或点F重合时，线段C₁P长度取最大值PE或PF，由此能求出线段C₁P的最小值．

解答 解：取A₁D₁中点E，在DD₁上取点F，使D₁F=2DF，连结EF、C₁E、C₁F，
则平面CMN∥平面C₁EF，
∵是侧面四边形ADD₁A₁内一动点（含边界），C₁P∥平面CMN，
∴P∈线段EF，
∴当P与EF的中点O重合时，线段C₁P长度取最小值PO，
当P与点E或点F重合时，线段C₁P长度取最大值PE或PF，
∵在长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AA₁=6，AB=3，AD=8，
点M是棱AD的中点，点N在棱AA₁上，且满足AN=2NA₁，
∴C₁P_max=C₁E=C₁F=$\sqrt{{3}^{2}+{4}^{2}}$=5，EF=4$\sqrt{2}$，
C₁P_min=PO=$\sqrt{{C}_{1}{E}^{2}-E{O}^{2}}$=$\sqrt{25-（2\sqrt{2}）^{2}}=\sqrt{17}$．
∴线段C₁P长度的最小值为$\sqrt{17}$．
故选：A．

点评 本题考查线段的最小值的求法，突出对运算能力、化归转化能力、空间想象的考查，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．