已知在长方体
中，点
为棱
上任意一点，
，
.
（Ⅰ）求证：平面
平面
；
（Ⅱ）若点
为棱
的中点，点为棱的中点，求二面角
的余弦值.
（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）二面角
的余弦值为
．
解析试题分析：（Ⅰ）求证：平面平面，证明两个平面垂直，只需证明一个平面过另一个平面的垂线即可，由长方体的性质，易证
平面
，从而可证平面平面；（Ⅱ）若点为棱的中点，点为棱的中点，求二面角的余弦值，求二面角问题，可用传统方法，找二面角的平面角，但本题不易找，另一种方法，用向量法，本题因为是长方体，容易建立空间坐标系，以
为
轴，以
为
轴，以
为
轴建立空间直角坐标系，分别设出两个平面的法向量，利用向量的运算，求出向量，即可求出二面角的余弦值．
试题解析：（Ⅰ）
为正方形 
2分
平面
4分
又
，
平面
平面
平面
6分
（Ⅱ）建立以为轴，以为轴，以为轴的空间直角坐标系 7分
设平面
的法向量为
，
9分
设平面
的法向量为
，
11分
13分
二面角的余弦值为 14分
考点：面面垂直，二面角．
天天向上一本好卷系列答案
小学生10分钟应用题系列答案科目：高中数学 来源： 题型：解答题
如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，E为BD的中点，G为PD的中点，△DAB≌△DCB，EA＝EB＝AB＝1，PA＝
，连接CE并延长交AD于F.
(1)求证：AD⊥平面CFG；
(2)求平面BCP与平面DCP的夹角的余弦值．
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科目：高中数学 来源： 题型：解答题
在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为1的正方形，且PA⊥平面ABCD.
(1)求证：PC⊥BD；
(2)过直线BD且垂直于直线PC的平面交PC于点E，且三棱锥E-BCD的体积取到最大值．
①求此时四棱锥E-ABCD的高；
②求二面角A-DE-B的正弦值的大小．
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科目：高中数学 来源： 题型：解答题
在正三棱柱ABC-A1B1C1中，AB＝2，AA1＝
，点D为AC的中点，点E在线段AA1上．
(1)当AE∶EA1＝1∶2时，求证DE⊥BC1；
(2)是否存在点E，使二面角D-BE-A等于60°，若存在求AE的长；若不存在，请说明理由．
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科目：高中数学 来源： 题型：解答题
斜三棱柱
，其中向量
,三个向量之间的夹角均为
，点
分别在
上且
，
=4，如图
（Ⅰ）把向量
用向量
表示出来，并求
；
（Ⅱ）把向量
用
表示；
（Ⅲ）求
与
所成角的余弦值.
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科目：高中数学 来源： 题型：解答题
如图：在空间四边形ABCD中，AB,BC,BD两两垂直，且AB=BC＝2，E是AC的中点，异面直线AD和BE所成的角为
，求BD的长度.(15分)
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为矩形，
，
，
，
，
.
为
的中点，证明：
面
；
的余弦值.
中，
⊥平面
，底面
∥
，
，
，点
在棱
上，且
．
时，求证：
∥面
；
所成角为
，求实数
的值．
-
中，
分别为
的中点. 应用空间向量方法求解下列问题. 
平面
；
平面
.