Question

6．如图，四边形ABCD中，∠BAD=135°，∠ADC=120°，∠BCD=45°，∠ABC=60°，BC=2，则线段AC长度的取值范围是$[\sqrt{3}\;，\;2）$．

Answer 1

分析 在△ABC中，由余弦定理可得：AC²=AB²+2²-4ABcos60°=（AB-1）²+3，可得AC≥$\sqrt{3}$．由∠BCD=45°，∠B=60°，可得∠BAC＞75°，可得AC＜BC，即可得出．

解答 解：在△ABC中，由余弦定理可得：AC²=AB²+2²-4ABcos60°=（AB-1）²+3，
∴AC≥$\sqrt{3}$．当AB=1时取等号，满足条件．
∵∠BCD=45°，∴∠ACB＜45°，
又∠B=60°，
∴∠BAC＞180°-45°-60°=75°，
∴AC＜BC=2．
综上可得：AC∈$[\sqrt{3}\;，\;2）$，
故答案为：$[\sqrt{3}\;，\;2）$．

点评 本题考查了余弦定理、三角形边角关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．