Question

已知函数f（x）=（x+

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）²，g（x）=lnx．
（Ⅰ）求y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；
（Ⅱ）设函数h（x）=f（x）-g（x），求证：对任意x∈（0，+∞），都有h（x）＞

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2

．

Answer 1

考点：利用导数研究曲线上某点切线方程,利用导数研究函数的单调性

专题：计算题,导数的综合应用

分析：（Ⅰ）求出导数f′（x），求出切线的斜率，写出切点，写出切线方程；
（Ⅱ）求出导数h′（x），注意定义域：（0，+∞），求出函数h（x）的单调区间，得到函数的极小值，即为最小值，再用最小值与

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2

比较即可．

解答： 解：（Ⅰ）f'（x）=2x+1，
由题意，得k=f'（0）=1，f(0)=

1

4

，
∴y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程为y=x+

1

4

；
（Ⅱ）证明：h(x)=(x+

1

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)2-lnx，（x＞0）
∴h′(x)=2x+1-

1

x

=

2x2+x-1

=

(x+1)(2x-1)

x

，
由h'（x）=0，得x=

1

2

，

x	(0， 1 2 )	1 2	( 1 2 ，+∞)
h'（x）	-	0	+
h（x）	减	极小值	增

∴h(x)≥hmin(x)=h极小值(x)=h(

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)=1-ln

1

2

，
 即h(x)≥1+ln2=1+

1

2

ln22＞1+

1

2

lne=

3

2

．

点评：本题是导数在函数中的综合应用：求切线方程，求单调区间和求极值，同时考查开区间内唯一的极值必为最值的重要结论，属于基础题．