Question

在△ABC中，角A、B、C所对的边分别是a、b、c，且∠ACB=

2

3

π．
（I）若a、b、c依次成等差数列，且公差为2，求c的值；
（Ⅱ）若c=

3

，∠ABC=θ，试用θ表示△ABC的周长，并求周长的最大值．

Answer 1

考点：正弦定理,等差数列的性质

专题：解三角形

分析：（Ⅰ）利用a，b，c的等差关系，用c分别表示出a和b，利用余弦定理建立等式求得c．
（Ⅱ）利用正弦定理用θ的三角函数来表示出AC，BC，表示出三角形ABC的周长，化简整理后利用三角函数的性质求得周长的最大值．

解答： 解（Ⅰ）∵a、b、c成等差数列，且公差为2，
∴a=c-4、b=c-2．
又∵∠BCA=

2

3

π，
∴cosC=-

1

2

，
∴

a2+b2-c2

2ab

=-

1

2

，
∴

(c-4)2+(c-2)2-c2

2(c-4)(c-2)

=-

1

2

，
恒等变形得c²-9c+14=0，
解得c=7或c=2．
又∵c＞4，
∴c=7．
（Ⅱ）在△ABC中，

AC

sin∠ABC

=

BC

sin∠BAC

=

AB

sin∠ACB

，
∴

AC

sinθ

=

BC

sin( π 3 -θ)

=

3

sin 2π 3

=2，AC=2sinθ，BC=2sin(

π

3

-θ)．
∴△ABC的周长f（θ）=|AC|+|BC|+|AB|=2sinθ+2sin(

π

3

-θ)+

3

=2[

1

2

sinθ+

3

2

cosθ]+

3

=2sin(θ+

π

3

)+

3

，
又∵θ∈(0，

π

3

)，
∴

π

3

＜θ+

π

3

＜

2π

3

，
∴当θ+

π

3

=

π

2

即θ=

π

6

时，f（θ）取得最大值2+

3

．

点评：本题主要考查了正弦定理和余弦定理的应用．学生熟练应用正弦和余弦定理的公式及变形公式是解题的基础．