Question

对于圆锥曲线，给出以下结论：
①设A、B为两个定点，k为非零常数，|

PA

|-|

PB

|=k，则动点P的轨迹为双曲线；
②过定圆C上一定点A作圆的动点弦AB，O为坐标原点，若

OP

=

1

2

（

OA

+

OB

），则动点P的轨迹为圆；
③方程4x²-12x+5=0的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率；
④双曲线

x2

16

-

y2

9

=1与椭圆

x2

35

+

y2

10

=1有相同的焦点．
⑤椭圆C：

x2

2

+y²=1上满足

MF1

•

MF2

=0的点M有4个（其中F₁，F₂为椭圆C的焦点）．
其中正确结论的序号为

 

（写出所有正确结论的序号）．

Answer 1

考点：圆锥曲线的共同特征

专题：综合题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：①不正确．若动点P的轨迹为双曲线，则|k|要小于A、B为两个定点间的距离；②设出定圆的方程，利用代入法分析可知AB中点P的轨迹为圆（除去A点）；③求出方程的两根即可得到答案；④双曲线

x2

16

-

y2

9

=1与椭圆

x2

35

+

y2

10

=1有相同的焦点（±5，0）；⑤椭圆C：

x2

2

+y²=1上满足

MF1

•

MF2

=0的点M有2个（0，±1）．

解答： 解：①不正确．若动点P的轨迹为双曲线，则|k|要小于A、B为两个定点间的距离．当|k|大于A、B为两个定点间的距离时动点P的轨迹不是双曲线；
对于②，设定圆C的方程为x²+y²+Dx+Ey+F=0，点A（m，n），P（x，y），由

OP

=

1

2

（

OA

+

OB

），可知P为AB的中点，则B（2x-m，2y-n），因为AB为圆的动弦，所以B在已知圆上，把B的坐标代入圆x²+y²+Dx+Ey+F=0得到P的轨迹仍为圆，当B与A重合时AB不是弦，所以点A除外，所以②不正确；
因为4x²-12x+5=0的两根是1.25，0.5，椭圆的离心率范围是（0，1），双曲线的离心率范围是（1，+∞），所以③正确；
④双曲线

x2

16

-

y2

9

=1与椭圆

x2

35

+

y2

10

=1有相同的焦点（±5，0），正确；
⑤椭圆C：

x2

2

+y²=1上满足

MF1

•

MF2

=0的点M有2个（0，±1）（其中F₁，F₂为椭圆C的焦点），不正确．
故答案为：③④．

点评：本题主要考查了圆锥曲线的共同特征，同时考查了椭圆与双曲线的性质，考查的知识点较多，属于中档题．