Question

已知函数f（x）=Asin（ωx-

π

6

）（ω＞0）相邻两个对称轴之间的距离是号，且满足，f（

π

4

）=

3

．
（I）求f（x）的单调递减区间；
（Ⅱ）在钝角△ABC中，a、b、c分别为角A、B、C的对边，sinB=

3

sinC，a=2，f（A）=1，求△ABC的面积．

Answer 1

考点：正弦定理,三角函数的周期性及其求法

专题：解三角形

分析：（Ⅰ）根据题意求得函数的最小周期，进而利用周期公式求得ω，根据f（

π

4

）=

3

求得A，进而可得函数f（x）的解析式，进而利用三角函数的性质求得其单调递减区间．
（Ⅱ）利用正弦定理把已知等式的角转化成边，进而求得sin（2A-

π

6

），进而求得A，最后利用余弦定理求得b和c，利用面积公式求得三角形面积．

解答： 解：（Ⅰ）由题意知周期T=π，
∴ω=

2π

T

=2，
∵f(

π

4

)=

3

，
∴A=2，
∴f(x)=2sin(2x-

π

6

)，
∵

π

2

+2kπ≤2x-

π

6

≤

3π

2

+2kπ，(k∈Z)时，函数单调减，
即

π

3

+kπ≤x≤

5π

6

+kπ，(k∈Z)时，函数单调减，
所以f（x）的单调递减区间为[

π

3

+kπ，

5π

6

+kπ]，(k∈Z)．
（Ⅱ）∵sinB=

3

sinC，
∴由正弦定理知b=

3

c，
∵f(A)=2sin(2A-

π

6

)=1，
∴sin(2A-

π

6

)=

1

2

，
∵-

π

6

＜2A-

π

6

＜

11π

6

，
∴A=

π

6

或

π

2

，
因为△ABC为钝角三角形，所以

π

2

舍去，故A=

π

6

，
∵a²=b²+c²-2bccosA，
∴4=3c2+c2-2

3

c2×

3

2

=c2，
∴c=2，b=2

3

，S△ABC=

1

2

×2

3

×2×

1

2

=

3

．

点评：本题主要考查了正弦定理和余弦定理的运用，三角函数图象和性质．考查了基础知识综合运用．