Question

某工厂生产一种产品的成本费共由三部分组成：①原材料费每件50元；②职工工资支出7500+20x元；③电力与机器保养等费用为 x²-30x+6000元（其中x为产品件数）．
（1）把每件产品的成本费P（x）（元）表示成产品件数x的函数，并求每件产品的最低成本费；
（2）如果该产品是供不应求的商品，根据市场调查，每件产品的销售价为Q（x）=1240-

1

30

x²，试问当产量处于什么范围时，工厂4处于生产潜力提升状态（生产潜力提升状态是指如果产量再增加，则获得的总利润也将随之增大）？

Answer 1

考点：函数模型的选择与应用

专题：应用题,导数的综合应用

分析：（1）根据每件产品的成本费P（x）等于三部分成本和，建立函数关系，再利用基本不等式求出最值即可；
（2）设总利润为y元，根据总利润=总销售额-总的成本求出总利润函数，利用函数与导数知识方法求解．

解答： 解：（1）P（x）=50+

7500+20x

x

+

x2-30x+600

x

=

8100

x

+x+40．
由基本不等式得P（x）≥2

8100 x •x

+40=220．当且仅当

8100

x

=x，即x=90时，等号成立．
所以P（x）=

8100

x

+x+40．每件产品的最低成本费为220 元．
（2）设总利润为y=f（x）=xQ（x）-xP（x）=-

1

30

x3-x2+1200x-8100，
f′（x）=-

1

10

（x-100）（x+120）
当f′（x）＞0时，0＜x＜100，
所以当产量处于{x|x∈N^*，且1≤x＜100}时，工厂处于生产潜力提升状态．

点评：本题主要考查了基本不等式在最值问题中的应用，以及函数与导数知识方法，同时考查了建模的能力，属于中档题．