Question

已知f（x）=6cos²

ωx

2

+

3

sinωx-3（ω＞0）在一个周期内的图象如图所示，A为图象的最高点，B，C为图象与x轴的交点，且△ABC为正三角形．
（Ⅰ）求ω的值；
（Ⅱ）当x∈[0，2]时，求函数f（x）的值域；
（Ⅲ）若f（x₀）=

6 3

5

，且x₀∈（-

10

3

，

2

3

），求f（x₀-1）．

Answer 1

考点：由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式,正弦函数的图象,函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换

专题：三角函数的图像与性质

分析：（Ⅰ）利用二倍角的余弦公式降幂后化积，由△ABC为正三角形求得函数的半周期，从而求得周期，则ω的值可求；
（Ⅱ）直接由x的范围求函数的值域；
（Ⅲ）由f（x₀）=

6 3

5

，结合（Ⅰ）求得sin（

πx0

4

+

π

3

）=

3

5

，再结合x₀∈（-

10

3

，

2

3

）求得cos（

πx0

4

+

π

3

），写出f（x₀-1）后展开两角差的正弦得答案．

解答： 解：（Ⅰ）由f（x）=6cos²

ωx

2

+

3

sinωx-3，得：
f（x）=3cosωx+

3

sinωx=2

3

sin（ωx+

π

3

）．
又正三角形ABC的高为2

3

，从而BC=4．
∴函数f（x）的周期T=4×2=8，即

2π

ω

=8，ω=

π

4

；
（Ⅱ）由（Ⅰ）得，f（x）=2

3

sin（

π

4

x+

π

3

）．
当x∈[0，2]时，

π

4

x+

π

3

∈[

π

3

，

5π

6

]，
∴2

3

sin(

π

4

x+

π

3

)∈[

3

，2

3

]；
（Ⅲ）∵f（x₀）=

6 3

5

，
由（1）有f（x₀）=2

3

sin（

πx0

4

+

π

3

）=

6 3

5

，
即sin（

πx0

4

+

π

3

）=

3

5

．
由x₀∈（-

10

3

，

2

3

），
知

πx0

4

+

π

3

∈（-

π

2

，

π

2

），
∴cos（

πx0

4

+

π

3

）=

1-( 3 5 )2

=

4

5

．
故f（x₀-1）=2

3

sin(

π

4

x0-

π

4

+

π

3

)
=2

3

sin[(

π

4

x0+

π

3

)-

π

4

]
=2

3

×(

3

5

×

2

2

-

4

5

×

2

2

)
=-

6

5

．

点评：本题考查了y=Asin（ωx+φ）的图象，考查了三角函数值得求法，考查了两角和与差的三角函数，解答此体的关键是拆角和配角，是中档题．