Question

【题目】某经济开发区规划要修建一地下停车场，停车场横截面是如图所示半椭圆形AMB，其中AP为2百米，BP为4百米，，M为半椭圆上异于A，B的一动点，且面积最大值为平方百米，如图建系．

求出半椭圆弧的方程；

若要将修建地下停车场挖出的土运到指定位置P处，N为运土点，以A,B为出口，要使运土最省工，工程部需要指定一条分界线，请求出分界线所在的曲线方程；

若在半椭圆形停车场的上方修建矩形商场，矩形的一边CD与AB平行，设百米，试确定t的值，使商场地面的面积最大．

Answer 1

【答案】

【解析】

（1）在直角三角形PAB中，由已知结合勾股定理得AB．设椭圆方程为（a＞b＞0）．由已知列式求得a，b，则椭圆方程可求；

（2）由于N到P的路程相等，可得NA+AP＝NB+BP，即NA﹣NB＝2＜AB，得N在以A，B为焦点的双曲线上，设双曲线方程为（m＞0，n＞0），则，解得m，n的值，则双曲线方程可求；

（3）由CD＝2t，设D（t，s）（s＞0），则．求得s，则商场地面积为y＝2ts＝2t．然后利用基本不等式求最值．

在直角三角形PAB中，，，

由勾股定理得：．

设椭圆方程为．

由题意得，解得，．

椭圆弧的方程为；

由点N到P的路程相等，，即．

得，在以A，B为焦点的双曲线上，

设双曲线方程为，

则，解得，．

双曲线方程为；

由，设，则．

，

商场地面积为y＝2ts＝2t．

，，

则．

当且仅当，即时“”成立．

当时，商场地面的面积最大为平方百米．