Question

【题目】已知三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧面ABB1A1为正方形，延长AB到D，使得AD=BD，平面AA1C1C⊥平面ABB1A1 ， A1C1= AA1 ， ∠C1A1A= ．

（1）若E，F分别为C1B1 ， AC的中点，求证：EF∥平面ABB1A1；
（2）求平面A1B1C1与平面CB1D所成的锐二面角的余弦值．

Answer 1

【答案】
（1）证明：取A1C1的中点G，连结FG，EG，

在△A1B1C1中，EG为中位线，∴EG∥A1B1，

∴GE平面ABB1A1，A1B1平面ABB1A1，

∴GE∥ABB1A1，同理得GF∥平面ABB1A1，

又GF∩GE=G，∴平面GEF∥平面ABB1A1，

∵EF平面GEF，∴EF∥平面ABB1A1．

（2）解：连结AC1，在△AA1C1中， ， ，

∴由余弦定理得 = + ﹣2AA1×A1C1cos∠AA1C1= ，

∴AA1=AC1，△A1AC1是等腰直角三角形，AC1⊥AA1，

又∵平面AA1C1C∩平面ABB1A1=AA1，

∴AC1⊥平面ABB1A1，

∵AB平面ABB1A1，∴AC1⊥AB，

又∵侧面ABB1A1为正方形，∴AA1⊥AB，

分别以AA1，AB，AC1所在直线为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，

设AB=1，则A（0，0，0），A1（1，0，0），B1（1，1，0），

C1（0，0，1），C（﹣1，0，1），D（0，2，0），

∴ =（2，1，﹣1）， =（1，2，﹣1）， =（﹣1，0，1）， =（0，1，0），

设平面A1B1C1的法向量 =（x，y，z），

则 ，取x=1，得 =（1，0，1），

设平面CB1D的法向量 =（a，b，c），

则 ，取a=1，得 =（1，1，3），

cos＜ ＞= = = ，

∴平面A1B1C1与平面CB1D所成的锐二面角的余弦值为 ．

【解析】（1）取A1C1的中点G，连结FG，EG，则EG∥A1B1 ， 从而GE∥ABB1A1 ， 同理得GF∥平面ABB1A1 ， 从平面GEF∥平面ABB1A1 ， 由此能证明EF∥平面ABB1A1 ． （2）连结AC1 ， 推导出AC1⊥AA1 ， 从而AC1⊥平面ABB1A1 ， 再求出AC1⊥AB，AA1⊥AB，分别以AA1 ， AB，AC1所在直线为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出平面A1B1C1与平面CB1D所成的锐二面角的余弦值．
【考点精析】本题主要考查了直线与平面平行的判定的相关知识点，需要掌握平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行；简记为：线线平行，则线面平行才能正确解答此题．