Question

已知函数f(x)=2x+

1

2x

．
（1）判断函数f（x）的奇偶性；
（2）利用单调性定义证明函数f（x）在区间（0，+∞）上为增函数．

Answer 1

分析：（1）根据函数奇偶性的定义进行判断即可．
（2）根据函数单调性的定义进行证明即可．

解答：解：（1）∵f(x)=2x+

1

2x

=2^x+2^-x，
∴f（-x）=2^x+2^-x=f（x），
∴函数f（x）为偶函数；
（2）利用单调性定义证明函数f（x）在区间（0，+∞）上为增函数．
设0＜x₁＜x₂，
则f(x1)-f(x2)=2x1+

1

2x1

-(2x2+

1

2x2

)=2x1-2x2+

2x2-2x1

2x1?2x2

=(2x1-2x2)

2x1?2x2-1

2x1?2x2

，
∵0＜x₁＜x₂，
∴2x1-2x20，
即f（x₁）-f（x₂）＜0，
∴f（x₁）＜f（x₂），
即函数f（x）在区间（0，+∞）上为增函数．

点评：本题主要考查函数奇偶性和单调性的应用，根据函数奇偶性和单调性的定义是解决本题的关键．