Question

17．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知cos（B-C）=1-cosA，且b，a，c成等比数列．求：
（1）sinB•sinC的值；
（2）A；
（3）tanB+tanC的值．

Answer 1

分析 （1）由三角形内角和定理化简已知可得：cos（B-C）-cos（B+C）=1，利用三角函数恒等变换的应用化简可得2sinBsinC=1，即可解得sinB•sinC=$\frac{1}{2}$．
（2）由cos（B-C）≤1，1-cosA≤1，可得cosA≥0，A不是钝角，利用等比数列的性质可得a²=bc，由正弦定理得：sin²A=sinBsinC=$\frac{1}{2}$，可求sinA=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，即可解得A的值．
（3）利用三角函数恒等变换的应用可求cosBcosC=$\frac{1-\sqrt{2}}{2}$，由两角和的正弦函数公式化简所求后代人即可得解．

解答 解：（1）∵cos（B-C）=1-cosA，可得：cos（B-C）-cos（B+C）=1，
∴解得：cosBcosC+sinBsinC-cosBcosC+sinBsinC=1，
∴2sinBsinC=1，解得：sinB•sinC=$\frac{1}{2}$．
（2）∵cos（B-C）≤1，1-cosA≤1，
∴cosA≥0，A不是钝角．
∵b，a，c成等比数列．即：a²=bc，由正弦定理得：sin²A=sinBsinC=$\frac{1}{2}$．
∴由A为三角形内角，sinA＞0，sinA=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴A=$\frac{π}{4}$，
（3）∵cos（B-C）=1-cosA=1-cos$\frac{π}{4}$=1-$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴cosBcosC+sinBsinC=1-$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴cosBcosC=1-$\frac{\sqrt{2}}{2}$-sinBsinC=1-$\frac{\sqrt{2}}{2}$-$\frac{1}{2}$=$\frac{1-\sqrt{2}}{2}$，
∴tanB+tanC
=$\frac{sinBcosC+cosBsinC}{cosBcosC}$
=$\frac{sin（B+C）}{cosBcosC}$
=$\frac{sinA}{cosBcosC}$
=$\frac{\frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{1-\sqrt{2}}{2}}$
=-2-$\sqrt{2}$．

点评 本题主要考查了三角函数恒等变换的应用，考查了三角形内角和定理，等比数列的性质，正弦定理的应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．