Question

1．如图，在四棱锥P-ABCD 中，侧面PAB 为正三角形，侧面PAB⊥底面ABCD，E 为PD 的中点，AB⊥AD，BC∥AD，且AB=BC=$\frac{1}{2}$AD=2．
（1）求证CE∥平面PAB；
（2）求四棱锥P-ABCD的体积．

Answer 1

分析 （1）取AP中点F，连EF，BF，从而可证四边形EFBC为平行四边形，从而得到CE∥BF，从而证明CE∥平面PAB；
（2）取AB的中点O，可证PO⊥底面ABCD，利用已知求得|PO|=$\sqrt{3}$，S_梯形ABCD=6，利用四棱锥的体积公式即可求值．

解答 解：（1）证明：取AP中点F，连EF，BF，
∵E为PD中点，∴EF∥AD且EF=$\frac{1}{2}$AD，
又∵BC∥AD且BC=$\frac{1}{2}$AD，∴EF∥BC且EF=BC，
∴四边形EFBC为平行四边形，
∴CE∥BF，
∴CE∥平面PAB；…6分
（2）如图，取AB的中点O，在正三角形PAB中，PO⊥AB，
∵侧面PAB⊥底面ABCD，侧面PAB∩底面ABCD=AB，PO?侧面PAB，
∴PO⊥底面ABCD，…8分
由AB⊥AD，BC∥AD，且AB=BC=$\frac{1}{2}$AD=2，
可得：|PO|=$\sqrt{3}$，S_梯形ABCD=6…10分
∴V_P-ABCD=$\frac{1}{3}$S_梯形ABCD|PO|=$\frac{1}{3}×6×\sqrt{3}$=2$\sqrt{3}$…12分

点评 本题主要考查了直线与平面平行的判定，四棱锥体积的求法，考查了空间想象能力和推理论证能力，属于中档题．