Question

6．对于任意两个非零向量$\overrightarrow{α}$和$\overrightarrow{β}$，定义$\overrightarrow{α}$?$\overrightarrow{β}$=$\frac{\overrightarrow{α}•\overrightarrow{β}}{\overrightarrow{β}•\overrightarrow{β}}$，若两个非零的平面向量$\overrightarrow{α}$，$\overrightarrow{β}$满足|$\overrightarrow{α}$|≥|$\overrightarrow{β}$|，其夹角θ∈（0，$\frac{π}{4}$），且$\overrightarrow{α}$?$\overrightarrow{β}$和$\overrightarrow{β}$?$\overrightarrow{α}$都在集合$\left\{{\frac{n}{2}|n∈Z}\right\}$中，则$\overrightarrow{α}$?$\overrightarrow{β}$=（　　）

• A． $\frac{5}{2}$
• B． $\frac{3}{2}$
• C． 1
• D． $\frac{1}{2}$

Answer 1

分析 根据题中的定义，化简整理得$\overrightarrow{α}$?$\overrightarrow{β}$=$\frac{n}{2}$，$\overrightarrow{β}$?$\overrightarrow{α}$=$\frac{m}{2}$，其中m、n都是整数，两式相乘可得cos²θ夹角的范围，讨论可得m，n，从而得出答案．

解答 解：由题意，可得$\overrightarrow{α}$?$\overrightarrow{β}$=$\frac{\overrightarrow{α}•\overrightarrow{β}}{\overrightarrow{β}•\overrightarrow{β}}$=$\frac{|\overrightarrow{α}|•|\overrightarrow{β}|cosθ}{|\overrightarrow{β}{|}^{2}}$=$\frac{|\overrightarrow{α}|cosθ}{|\overrightarrow{β}|}$=$\frac{n}{2}$，
同理可得$\overrightarrow{β}$?$\overrightarrow{α}$=$\frac{|\overrightarrow{β}|cosθ}{|\overrightarrow{a}|}$=$\frac{m}{2}$，其中m、n都是整数，
将化简的两式相乘，可得cos²θ=$\frac{mn}{4}$，
∵|$\overrightarrow{α}$|≥|$\overrightarrow{β}$|，
∴n≥m 且m、n∈Z，
∵$\overrightarrow{α}$，$\overrightarrow{β}$的夹角θ∈（0，$\frac{π}{4}$），可得cos²θ∈（$\frac{1}{2}$，1），
即$\frac{mn}{4}$∈（$\frac{1}{2}$，1），结合m、n均为整数，可得m=1且n=3，
从而得$\overrightarrow{α}$?$\overrightarrow{β}$=$\frac{n}{2}$=$\frac{3}{2}$，
故选：B．

点评 本题给出新定义，求式子 $\overrightarrow{α}$?$\overrightarrow{β}$的值．着重考查了向量数量积及其运算性质、三角函数的性质和整数解的讨论等知识，属于中档题．