Question

15．已知函数f（x）=b•a^x（其中a、b为常数，a＞0，a≠1）的图象过点，A（1，$\frac{1}{6}$），B（3，$\frac{1}{24}$）．
（1）求f（x）
（2）若不等式（$\frac{1}{a}$）^x+（$\frac{1}{b}$）^x-m≥0在x∈[1，+∞）时恒成立，求m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）根据条件利用待定系数法进行求解即可．
（2）利用参数分离法进行求解即可．

解答 解：（1）∵f（x）=b•a^x（其中a、b为常数，a＞0，a≠1）的图象过点，A（1，$\frac{1}{6}$），B（3，$\frac{1}{24}$）．
∴$\left\{\begin{array}{l}{ab=\frac{1}{6}}\\{b•{a}^{3}=\frac{1}{24}}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{a=\frac{1}{2}}\\{b=\frac{1}{3}}\end{array}\right.$，
则f（x）=$\frac{1}{3}$•（$\frac{1}{2}$）^x．
（2）若不等式（$\frac{1}{a}$）^x+（$\frac{1}{b}$）^x-m≥0在x∈[1，+∞）时恒成立，
则（$\frac{1}{a}$）^x+（$\frac{1}{b}$）^x-m=2^x+3^x-m，
∴m≤2^x+3^x，
∵y=2^x+3^x在[1，+∞）上为增函数，
∴最小值为5，∴m≤5．

点评 本题主要考查函数解析式的求解以及不等式恒成立问题，利用参数分离法进行转化是解决本题的关键．