Question

4．已知sinα=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，cosβ=$\frac{3\sqrt{10}}{10}$，α∈（$\frac{π}{2}$，π），β∈（-$\frac{π}{2}$，0）
（Ⅰ）求cosα，tanβ；
（Ⅱ）求tan（α+β）的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由条件利用同角三角函数的基本关系，求得cosα，tanβ的值．
（Ⅱ）由条件利用两角和的正切公式，求得要求式子的值．

解答 解：（Ⅰ）∵sinα=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，cosβ=$\frac{3\sqrt{10}}{10}$，α∈（$\frac{π}{2}$，π），β∈（-$\frac{π}{2}$，0），
∴cosα=-$\sqrt{1-sin2α}$=-$\frac{2\sqrt{5}}{5}$．
sinβ=-$\sqrt{1-cos2β}$=-$\frac{\sqrt{10}}{10}$，进而tanβ=$\frac{sinβ}{cosβ}$=-$\frac{1}{3}$．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，tanα=$\frac{sinα}{cosα}$=-$\frac{1}{2}$，tanβ=-$\frac{1}{3}$，
∴tan（α+β）=$\frac{tanα+tanβ}{1-tanαtanβ}$=$\frac{-\frac{1}{2}-\frac{1}{3}}{1-（-\frac{1}{2}）•（-\frac{1}{3}）}$=-1．

点评 本题主要考查同角三角函数的基本关系，两角和的正切公式的应用，属于基础题．