Question

12．在平面直角坐标系xOy中．己知直线l的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=tcos\frac{2π}{3}}\\{y=4+tsin\frac{2π}{3}}\end{array}\right.$（t为参数），以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C的极坐标方程是ρ=4．
（1）写出直线l的普通方程与曲线C的直角坐标系方程；
（2）直线l与曲线C相交于A、B两点，求∠AOB的值．

Answer 1

分析 （1）直线l消去参数t，能求出直线l的普通方程，曲线C的极坐标方程是ρ²=16，由此能求出曲线C的直角坐标系方程．
（2）求出圆心C（0，0）到直线l：$\sqrt{3}x$+y-4=0的距离为2，由此能求出∠AOB的值．

解答 解：（1）∵直线l的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=tcos\frac{2π}{3}}\\{y=4+tsin\frac{2π}{3}}\end{array}\right.$（t为参数），
∴直线l的普通方程为$\sqrt{3}x+y-4=0$．
∵曲线C的极坐标方程是ρ=4，∴ρ²=16，
∴曲线C的直角坐标系方程为x²+y²=16．
（2）⊙C的圆心C（0，0）到直线l：$\sqrt{3}x$+y-4=0的距离：
d=$\frac{4}{\sqrt{3+1}}$=2，
∴cos$\frac{1}{2}∠AOB=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}$，
∵0$＜\frac{1}{2}∠AOB＜\frac{π}{2}$，∴$\frac{1}{2}∠AOB=\frac{π}{3}$，
∴$∠AOB=\frac{2π}{3}$．

点评 本题考查直线的普通方程和曲线的直角坐标系方程的求法，考查角的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意极坐标和直角坐标互化公式的合理运用．