Question

20．已知函数f（x）=|x|+$\frac{m}{x}$-1（x≠0）
（1）当m=1时，判断f（x）在（-∞，0）的单调性，并用定义证明；
（2）若对任意x∈（1，+∞），不等式 f（log₂x）＞0恒成立，求m的取值范围．
（3）讨论f（x）零点的个数．

Answer 1

分析 （1）f（x）在（-∞，0）上为减函数．运用函数的单调性的定义加以证明，注意取值、作差、变形和定符号、下结论几个步骤；
（2）利用不等式恒成立，进行转化求解即可，
（3）利用函数与方程的关系进行转化，利用参数分离法结合数形结合进行讨论即可．

解答 解：（1）由当m=1，且x＜0时，f（x）=-x+$\frac{1}{x}$-1是单调递减的．
证明：设x₁＜x₂＜0，则
f（x₁）-f（x₂）=-x₁+$\frac{1}{{x}_{1}}$-1-（-x₂+$\frac{1}{{x}_{2}}$-1）=x₂-x₁+$\frac{1}{{x}_{1}}$-$\frac{1}{{x}_{2}}$
=（x₂-x₁）-$\frac{{x}_{1}-{x}_{2}}{{x}_{1}{x}_{2}}$=（x₂-x₁）（1+$\frac{1}{{x}_{1}{x}_{2}}$），
∵x₁＜x₂＜0，则x₂-x₁＞0，x₁x₂＞0，则有f（x₁）-f（x₂）＞0，
f（x₁）＞f（x₂）
则f（x））在（-∞，0）上为减函数； 
（2）由 f（log₂x）＞0得|log₂x|+$\frac{m}{lo{g}_{2}x}$-1＞0，
当x∈（1，+∞），log₂x＞0，
则不等式变形为（log₂x）²-log₂x+m＞0，
即m＞-（log₂x）²+log₂x，
而g（x）=-（log₂x）²+log₂x=-（log₂x-$\frac{1}{2}$）²+$\frac{1}{4}$，
当log₂x=$\frac{1}{2}$，即x=$\sqrt{2}$时，g（x）取得最大值$\frac{1}{4}$，--------7分
∴m＞$\frac{1}{4}$．
（3）由f（x）=0可得x|x|-x+m=0，变为m=-x|x|+x，x≠0
令h（x）=x-x|x|=$\left\{\begin{array}{l}{-{x}^{2}+x，}&{x＞0}\\{{x}^{2}+x，}&{x＜0}\end{array}\right.$-----9分
作出函数h（x）的图象及直线y=m，由图象可得：
当m＞$\frac{1}{4}$或m＜-$\frac{1}{4}$时，f（x）有1个零点．-----10分
当m=$\frac{1}{4}$或m=0或m=-$\frac{1}{4}$时，f（x）有2个零点；-----11分
当0＜m＜$\frac{1}{4}$或-$\frac{1}{4}$＜m＜0时，f（x）有3个零点．-------12分．

点评 本题考查不等式恒成立以及函数的单调性的判断以及证明，考查函数的零点的判断，考查分类讨论的思想方法，考查运算能力，属于中档题和易错题．