Question

11．已知函数f（x）=2sinxcos（x+$\frac{π}{3}$）+$\sqrt{3}$cos²x+$\frac{1}{2}$sin2x．
（1）求函数f（x）的最小正周期；
（2）求函数f（x）的单调递增区间．

Answer 1

分析 （1）由三角函数公式化简可得f（x）=2si$n（2x+\frac{π}{3}）$，由周期公式可得；
（2）解2kπ-$\frac{π}{2}$≤2x+$\frac{π}{3}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$可得f（x）的单调递增区间．

解答 解：（1）由三角函数公式化简可得：
f（x）=2sinxco$s（x+\frac{π}{3}）$+$\sqrt{3}cos$²x+$\frac{1}{2}sin$2x
=2sin$x（cosxcos\frac{π}{3}-sinxsin\frac{π}{3}）$+$\sqrt{3}cos$²x+$\frac{1}{2}sin$2x
=sinxcosx-$\sqrt{3}sin$²x+$\sqrt{3}cos$²x+$\frac{1}{2}sin$2x
=sin2x+$\sqrt{3}cos$ 2x=2si$n（2x+\frac{π}{3}）$，
∴f（x）的最小正周期为T=$\frac{2π}{2}$=π；
（2）令2kπ-$\frac{π}{2}$≤2x+$\frac{π}{3}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z，
∴解得x∈$[kπ-\frac{5π}{12}，kπ+\frac{π}{12}]$（k∈Z），
∴f（x）的单调递增区间为$[kπ-\frac{5π}{12}，kπ+\frac{π}{12}]$（k∈Z）．

点评 本题考查三角函数恒等变换，涉及三角函数的周期性和单调性，属基础题．