Question

16．已知$\overrightarrow{a}$=（cosωx，sin（ωx+$\frac{π}{2}$）），$\overrightarrow{b}$=（sinωx，$\sqrt{3}$sinωx）（ω＞0），记f（x）=$\overrightarrow{a}$$•\overrightarrow{b}$，且f（x）的最小正周期为π．
（1）求f（x）的最大值及取得最大值时x的集合；
（2）求f（x）在区间[0，$\frac{2π}{3}$]上的取值范围．

Answer 1

分析 （1）利用平面向量的数量积公式写出f（x）的解析式并化简，利用周期求出ω，根据正弦函数的性质得出f（x）的最大值和相应的x；
（2）求出2x的范围，根据正弦函数的性质得出f（x）的最值．

解答 解：（1）f（x）=sinωxcosωx+$\sqrt{3}$sinωxsin（ωx+$\frac{π}{2}$）=$\frac{1}{2}$sin2ωx+$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2ωx=$\frac{1+\sqrt{3}}{2}$sin2ωx．
∴$\frac{2π}{2ω}$=π，解得ω=1，∴f（x）=$\frac{1+\sqrt{3}}{2}$sin2x．
∴f（x）的最大值为$\frac{1+\sqrt{3}}{2}$，令2x=$\frac{π}{2}$+2kπ，解得x=$\frac{π}{4}$+kπ．∴f（x）取最大值时x的集合为{x|x=$\frac{π}{4}$+kπ，k∈Z}．
（2）∵x∈[0，$\frac{2π}{3}$]，∴2x∈[0，$\frac{4π}{3}$]．
∴当2x=$\frac{π}{2}$时，f（x）取得最大值$\frac{1+\sqrt{3}}{2}$，当2x=$\frac{4π}{3}$时，f（x）取得最小值-$\frac{3+\sqrt{3}}{4}$．
∴f（x）的取值范围是[-$\frac{3+\sqrt{3}}{4}$，$\frac{1+\sqrt{3}}{2}$]．

点评 本题考查了三角函数的恒等变换，正弦函数的图象与性质，属于中档题．