Question

4．已知函数y=sin²x+2sinxcosx-3cos²x，x∈R
（1）求函数的最小正周期；
（2）求函数的最大值．

Answer 1

分析 （1）利用二倍角公式和两角差的正弦函数公式化简整理求得函数f（x）的解析式，进而利用正弦函数的性质求得函数的最小正周期．
（2）根据（1）中函数的解析式，利用正弦函数的单调性即可得解．

解答 解：（1）∵y=sin²x+2sinxcosx-3cos²x
=$\frac{1-cos2x}{2}$+sin2x-3×$\frac{1+cos2x}{2}$
=sin2x-2cos2x-1
=$\sqrt{5}$sin（2x-φ）-1，其中，tanφ=2，
∴函数的最小正周期T=$\frac{2π}{2}=π$．
（2）∵由（1）可得：y=$\sqrt{5}$sin（2x-φ）-1，其中，tanφ=2，
∴y_max=$\sqrt{5}$-1．

点评 本题主要考查了二倍角公式和两角差的正弦函数公式化简求值．考查了学生对三角函数基础知识的综合运用，属于中档题．