Question

6．设0≤x≤2，求函数y=9^x-2×3^x+3的最大值，并求取得最大值时x的值．

Answer 1

分析 可设3^x=t，t∈[1，9]，即有y=t²-2t+3=（t-1）²+2，对称轴为t=1，运用单调性即可得到所求最大值及x的值．

解答 解：函数y=9^x-2×3^x+3
=（3^x）²-2×3^x+3，
令3^x=t，由0≤x≤2知t∈[1，9]，
则y=t²-2t+3=（t-1）²+2，对称轴为t=1，
所以，y在[1，9]上是单调递增函数，
当t=9，即x=2时取到最大值，最大值为y=66．
所以，函数y=9^x-2×3^x+3的最大值为66，此时x的值为2．

点评 本题考查可化为二次函数的最值的求法，注意运用换元法和二次函数的最值的求法，考查运算能力，属于中档题．