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已知数列{an}的前n项的和Sn=n2+n.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)若正项等比数列{bn}中,前n项的和为Sn,且a1b1=1,a4•(1-S3)=1,求Sn的表达式;
(3)求数列{anSn}的前n项的和Tn
分析:本题(1)考查等差数列的通项公式的求法∵Sn=n2+n,an=Sn-Sn-1 容易求得;
(2)考查等比数列的求和公式,考查了方程思想与分类讨论的思想,容易求得b1=
1
8
,q=
1
2
,从而可求正项等比数列{bn}的前n项和sn
(3)考查分组求和与错位相减法求和.得到Tn=2(1+2+3+…+n)-(1+
2
2
+
3
22
+
4
23
+…+
n
2n-1
)
之后,前者按等差数列求和,后者错位相减法求和
解答:解:(1)当n=1时,a1=2,…1′
当n≥2时,an=n2+n-(n-1)2-(n-1)=2n,也适合n=1时.=sn-sn-1
∴an=2n.…4′
(2)设等比数列{bn}的公比为q.
则有b1=
1
2
1-
1
2
(1-q3)
1-q
=
1
8

化简:4q2+4q-3=0,即(2q-1)(2q+3)=0.
∵q>0,∴得q=
1
2
.∴
S
/
n
=1-
1
2n
.…7′
(3)∵an
S
/
n
=2n(1-
1
2n
)=2n-
n
2n-1
…8′
Tn=2(1+2+3+…+n)-(1+
2
2
+
3
22
+
4
23
+…+
n
2n-1
)
…9′
s=1+
2
2
+
3
22
+
4
23
+…+
n
2n-1

由错位相减法得:s=4-
n+2
2n-1
…11′
Tn=n(n+1)-4+
n+2
2n-1
.…12′
点评:这道题重点考查考查等差数列的通项公式的求法,分组求和与错位相减法求和,综合性较强,学生容易出错.
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