Question

如图，在底面为直角梯形的四棱锥P-ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，PA⊥平面ABCD，AC和BD交于点E，PA=3，AD=2，AB=2

3

，BC=6．
（1）若在PC取一点F，满足

PF

FC

=

1

3

，求证：EF∥平面PAB；
（2）求证：BD⊥平面PAC．

Answer 1

考点：直线与平面垂直的判定,直线与平面平行的判定

专题：空间位置关系与距离

分析：（1）由AD∥BC，可得

AE

EC

=

AD

BC

=

1

3

，而

PF

FC

=

1

3

，可得

AE

EC

=

PF

FC

．因此EF∥PA．再利用线面平行的判定定理即可得出．
（2）由PA⊥平面ABCD，可得PA⊥BD．在直角梯形ABCD中，过点D作DM∥AC交BC的延长线于点M．由AD∥BC，∠ABC=90°，AD=2，AB=2

3

，BC=6．可得BD²+DM²=BM²，因此BD⊥DM．利用线面垂直的判定定理即可得出．

解答： 证明：（1）∵AD∥BC，∴

AE

EC

=

AD

BC

=

1

3

，
∵

PF

FC

=

1

3

，
∴

AE

EC

=

PF

FC

．
∴EF∥PA．
∵EF?平面PAB，PA?平面PAB．
∴EF∥平面PAB；
（2）∵PA⊥平面ABCD，
∴PA⊥BD．
在直角梯形ABCD中，过点D作DM∥AC交BC的延长线于点M．
∵AD∥BC，∠ABC=90°，AD=2，AB=2

3

，BC=6．
∴BD=

AB2+AD2

=4，AC=

AB2+BC2

=4

3

．
∴BD²+DM²=BM²=8²，
∴BD⊥DM．
即BD⊥AC．
又AC∩PA=A，
∴BD⊥平面PAC．

点评：本题考查了线面平行与垂直的判定定理、勾股定理、平行线分线段成比例定理、梯形的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．