Question

已知函数f（x）的定义域关于原点对称，且满足以下三个条件：
①x₁、x₂、x₁-x₂是定义域中的数时，有f(x1-x2)=

f(x1)f(x2)+1

f(x2)-f(x1)

；
②f（a）=-1（a＞0，a是定义域中的一个数）；
③当0＜x＜2a时，f（x）＜0．
（1）判断f（x₁-x₂）与f（x₂-x₁）之间的关系，并推断函数f（x）的奇偶性；
（2）判断函数f（x）在（0，2a）上的单调性，并证明；
（3）当函数f（x）的定义域为（-4a，0）∪（0，4a）时，
 ①求f（2a）的值；②求不等式f（x-4）＜0的解集．

Answer 1

分析：（1）将x₁-x₂和x₂-x₁分别代入抽象表达式①，即可判断f（x₁-x₂）与f（x₂-x₁）之间互为相反数，并推断函数f（x）为奇函数
（2）利用已知条件③和函数单调性定义，即可证明函数f（x）在（0，2a）上为单调增函数
（3）①令x₁=a，x₂=-a，代入抽象表达式结合f（a）=-1即可得f（2a）的值；②先证明函数f（x）关于点（2a，0）对称，进而判断函数f（x）在（-4a，0）和（0，4a）上的单调性，最后利用单调性解不等式即可

解答：解：（1）不妨令x=x₁-x₂，则f(-x)=f(x2-x1)=

f(x2)f(x1)+1

f(x1)-f(x2)

=-

f(x1)f(x2)+1

f(x2)-f(x1)

=-f（x₁-x₂）=-f（x），
∴f（x）是奇函数；
（2）在（0，2a）上任取两个实数x₁、x₂，
且x₁＜x₂，则有f(x1)-f(x2)=

f(x2)f(x1)+1

f(x2-x1)

，
∵0＜x＜2a时，f（x）＜0，
∴f（x₂）＜0且f（x₁）＜0，
故f（x₂）f（x₁）＞0，
即f（x₂）f（x₁）+1＞0；
∵0＜x₁＜2a，0＜x₂＜2a且x₁＜x₂，∴0＜x₂-x₁＜2a，
即有f（x₂-x₁）＜0；
∴f（x₁）-f（x₂）＜0，
即f（x₁）＜f（x₂），
∴f（x）在（0，2a）上是增函数；
（3）①由题意可得：f(2a)=f[a-(-a)]=

f(a)f(-a)+1

f(-a)-f(a)

=

1-f 2(a )

-2f(a)

=

1-1

2

=0，
②∵f（2a-x）=

f(2a )f(x )+1

f(x )-f(2a)

=

1

f(x)

，f（2a+x）=

f(2a )f(-x )+1

f(-x )-f(2a)

=

1

f(-x)

=-

1

f(x)

∴f（2a-x）=-f（2a+x）
∴函数关于（2a，0）对称
由（2）知f（x）在（0，2a）上是增函数；
∴f（x）在（2a，4a）上也是增函数，
∴f（x）在（0，4a）上是增函数；在（-4a，0）上也是增函数
当x-4∈（0，4a）时，f（x-4）＜0?f（x-4）＜f（2a）?x-4＜2a，
∴0＜x-4＜2a，即4＜x＜2a+4
当x-4∈（-4a，0）时，f（x-4）＜0?f（x-4）＜f（-2a）?x-4＜-2a，
∴-4a＜x-4＜-2a，即4-4a＜x＜4-2a
所以不等式的解集是（4-4a，4-2a）∪（4，2a+4）．

点评：本题综合考查了抽象函数表达式的意义和应用，函数的奇偶性及其判断，函数的单调性定义及其证明，利用函数的单调性和对称性解不等式