Question

在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c且满足csinA=acosC
（1）求角C的大小；
（2）求

3

sinA-cos(B+C)的取值范围．

Answer 1

分析：（1）已知等式利用正弦定理化简，根据sinA不为0求出tanC的值，利用特殊角的三角函数值即可求出C的度数；
（2）原式第二项利用诱导公式化简，提取2变形后，利用两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数，由A的范围求出这个角的范围，利用正弦函数的值域即可确定出范围．

解答：解：（1）由正弦定理化简已知等式得：sinCsinA=sinAcosC，
∵A为三角形内角，∴sinA≠0，
∴sinC=cosC，即tanC=1，
∴C=

π

4

；
（2）

3

sinA-cos（B+C）=

3

sinA+cosA=2sin（A+

π

6

），
∵0＜A＜

3π

4

，
∴

π

6

＜A+

π

6

＜

11π

12

，
∵sin

11π

12

=sin

π

12

=sin（

π

3

-

π

4

）=sin

π

3

cos

π

4

-cos

π

3

sin

π

4

=

6 - 2

4

，
∴

6 - 2

4

＜sin（A+

π

6

）＜1，即

6 - 2

2

＜2sin（A+

π

6

）＜2，
则

3

sinA-cos（B+C）的取值范围是（

6 - 2

2

，2]．

点评：此题考查了正弦定理，正弦函数的定义域与值域，两角和与差的正弦函数公式，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握正弦定理是解本题的关键．