Question

如图，直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AC=BC=AA₁，∠ACB=90°，D是棱AA₁的中点．
（Ⅰ）证明：DC₁⊥BC；
（Ⅱ）求二面角B-DC₁-C的余弦值．

Answer 1

解：（Ⅰ）∵直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，CC₁⊥平面ABC，BC?平面ABC，
∴CC₁⊥BC…（2分）
又∵∠ACB=90°，∴BC⊥AC…（3分）
∵AC∩CC₁=C，AC、CC₁?平面ACC₁A₁
∴BC⊥平面ACC₁A₁
∵D₁C?平面平面ACC₁A₁，∴DC₁⊥BC；…（5分）
（II）∵AC=BC=AA₁，∴令AC=a，Rt△ACD中，CD==
同理可得C₁D=，结合CC₁=2a得CD²+C₁D²=CC₁²
∴△CC₁D是以CC₁为斜边的直角三角形，即CD⊥C₁D…（8分）
∵BC⊥平面ACC₁A₁，C₁D?平面ACC₁A₁，∴BC⊥C₁D
∵BC、CD是平面BCD内的相交直线，∴C₁D⊥平面BCD…（11分）
∵BD?平面BCD，∴C₁D⊥BD
因此，∠BDC就是二面角B-DC₁-C的平面角…（13分）
Rt△BDC中，DC=，BC=a，BD=
∴cos∠BDC==，即二面角B-DC₁-C的余弦值等于…（15分）
分析：（1）根据直三棱柱的性质，得CC₁⊥BC，结合BC⊥AC且AC、CC₁是平面ACC₁A₁内的相交直线，可得BC⊥平面ACC₁A₁，进而得到DC₁⊥BC；
（2）根据勾股定理的逆定理，得CD⊥C₁D，结合BC⊥C₁D可证出C₁D⊥平面BCD，从而C₁D⊥BD，得∠BDC就是二面角B-DC₁-C的平面角，最后利用直角三角形中余弦的定义，可得cos∠BDC=，即为二面角B-DC₁-C的余弦值．
点评：本题在特殊的三棱柱中证明两条直线互相垂直，并求二面角的余弦之值，着重考查了空间垂直位置关系的证明和二面角平面角的求法等知识，属于中档题．