Question

【题目】如图，在四棱锥中，为正三角形，四边形ABCD为直角梯形，//，平面平面ABCD，点E，F分别为AD，CP的中点，.

（1）证明：直线//平面PAB；

（2）求直线EF与平面PBC所成角的正弦值.

Answer 1

【答案】(1)证明见详解；(2).

【解析】

（1）取中点为，构造过的平面，由面面平行推证线面平行即可；

（2）取中点为，过作，找出二面角的平面角，再解三角形即可.

（1）取中点为，连接，如下图所示：

在中，

因为分别是两边的中点，

故可得//；

在梯形中，

因为分别是两腰的中点，

故可得//；

又因为平面，且，

平面，且，

故可得平行//，

又因为平面，

故可得//平面，即证.

（2）取中点为，连接，

过作，连接，如下图所示：

因为是等边三角形，且为中点，

故可得；

因为平面平面，且两平面交于，

故可得平面.

又因为平面，

故可得；

又因为梯形是直角梯形，//，

故可得；

又因为平面，且交于点，

故可得平面，又因为平面，

故可得；又，

且平面，且交于点，

故可得平面，则即为所求线面角.

在梯形中，

因为，且

故可得；

在中，

；；

故可得斜边上的高线；

在中，

；；

故可得斜边上的中线；

综上所述：在中，

，，

故可得.

故直线EF与平面PBC所成角的正弦值为.