Question

平面上有四点A、B、Q、P，其中A、B为定点，且|AB|=

3

，P、Q为动点，满足|AP|=|PQ|=|QB|=1，△APB和△PQB的面积分别为m、n．
（1）求∠A=30°，求∠Q
（2） 求m²+n²的最大值．

Answer 1

分析：（1）由余弦定理分别表示出PB，建立等式求得cosQ的值，进而求得Q．
（2）分别利用三角形面积公式表示出m和n，进而代入m²+n²中整理成关于cosA的表达式，根据cosA的范围和二次函数的性质求得函数的最大值．

解答：解：（1）由余弦定理得PB²=1+3-2

3

cosA，PB²=1+1-2cosQ
∴4-2

3

cosA=2-2cosQ，由A=30°求得cosQ=

1

2

∴Q=60
（2）m²+n²=（

1

2

×1×

3

sinA）²+（

1

2

×1×1×sinQ）²=

3

4

sin²A+

1

4

（1-cos²Q）=-

3

2

（cosA-

3

6

）²+

7

8

∴当cosA=

3

6

时，m²+n²的最大值为

7

8

点评：本题主要考查了余弦定理的应用，二次函数的性质．考查了学生基础知识的掌握和基本运算的能力．