Question

14．过半径为5的球面上一点P作三条两两垂直的弦PA，PB，PC，且满足PA=2PB，则PA+PB+PC的最大值是2$\sqrt{70}$．

Answer 1

分析 由已知，三棱锥P-ABC的四个顶点均在半径为2的球面上，且PA，PB，PC两两垂直，球直径等于以PA，PB，PC为棱的长方体的对角线，得到5PB²+PC²=100，再结合三角换元法，由三角函数的性质得到PA+PB+PC的最大值．

解答 解：∵PA，PB，PC两两垂直，
又∵三棱锥P-ABC的四个顶点均在半径为5的球面上，
∴以PA，PB，PC为棱的长方体的对角线即为球的一条直径．
∴100=PA²+PB²+PC²，又PA=2PB，∴5PB²+PC²=100，
设PB=2$\sqrt{5}$cosα，PC=10sinα，
则PA+PB+PC=3PB+PC=6$\sqrt{5}$cosα+10sinα=2$\sqrt{70}$sin（α+∅）≤2$\sqrt{70}$．
则PA+PB+PC的最大值为2$\sqrt{70}$，
故答案为：2$\sqrt{70}$．

点评 本题考查的知识点是棱锥的侧面积，棱柱的外接球，其中根据已知条件，得到棱锥的外接球直径等于以PA，PB，PC为棱的长方体的对角线，是解答本题的关键．