Question

4．若曲线y=$\frac{1}{2}$sinx与y=tanx在x=α（0＜α＜π且α≠$\frac{π}{2}$）处的切线互相垂直，则α=$\frac{2π}{3}$．

Answer 1

分析 求出函数的导数，由导数的几何意义可得切线的斜率，再由两直线垂直的条件，以及同角的基本关系式，化简即可得到所求．

解答 解：y=$\frac{1}{2}$sinx的导数为y′=$\frac{1}{2}$cosx，
y=tanx的导数为y′=sec²x，
由题意可得$\frac{1}{2}$cosα•sec²α=-1，
即有cosα•$\frac{1}{co{s}^{2}α}$=-2，
则cosα=-$\frac{1}{2}$，
由0＜α＜π且α≠$\frac{π}{2}$，
即有α=$\frac{2π}{3}$．
故答案为：$\frac{2π}{3}$．

点评 本题考查导数的运用：求切线的斜率，考查同角的基本关系式，以及两直线垂直的条件，属于中档题．