Question

16．已知f（x）是R上的单调函数，?x₁，x₂∈R，?x₀∈R，总有f（x₀x₁+x₀x₂）=f（x₀）+f（x₁）+f（x₂）恒成立．
（1）求x₀的值
（2）若f（x₀）=1，且n∈N^*，有a_n=f（$\frac{1}{{2}^{n+1}}$）+1．求a_n．

Answer 1

分析 （1）令x₁=x₂=0，得f（0）=f（x₀）+2f（0），故f（x₀）=-f（0）；令x₁=1，x₂=0，得f（x₀）=f（x₀）+f（1）+f（0），故f（1）=-f（0）．所以f（x₀）=f（1），f（x）是R上的单调函数，由此能求出x₀的值．
（2）若f（x₀）=1，即f（1）=1，根据抽象函数的关系式求出f（n）的表达式即可得到结论．

解答 解：（1）令x₁=x₂=0，得f（0）=f（x₀）+2f（0），
∴f（x₀）=-f（0），①
令x₁=1，x₂=0，得f（x₀）=f（x₀）+f（1）+f（0），
∴f（1）=-f（0），②
由①、②知，f（x₀）=f（1），又f（x）是R上的单调函数，
∴x₀=1．　　
（2）∵x₀=1，∴若f（x₀）=1，
即f（1）=1，
则f（x₁+x₂）=f（1）+f（x₁）+f（x₂）=1+f（x₁）+f（x₂），
∴f（n+1）=1+f（n）+f（1）=f（n）+2，n∈N^*，
即数列{f（n）}是以2为公差1为首项的等差数列，
∴f（n）=2n-1．
a_n=f（$\frac{1}{{2}^{n+1}}$）+1=2•$\frac{1}{{2}^{n+1}}$-1+1=$\frac{1}{{2}^{n}}$．

点评 本题主要考查抽象函数的应用，利用赋值法是解决抽象函数的常用方法，考查学生的运算和推理能力．