Question

7．已知关于x的方程ax²-（a+1）x+2=0在区间[0，1]上有实数根，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 讨论a的取值，结合一元二次方程根的分布，建立不等式关系即可得到结论．

解答 解：若a=0，则方程等价为x=2，在区间[0，1]上没有实数根，不满足条件．故a≠0．
若方程ax²-（a+1）x+2=0在区间[0，1]上只有一个实数根，
设f（x）=ax²-（a+1）x+2，
则满足①$\left\{\begin{array}{l}{a≠0}\\{△=0}\\{0≤-\frac{-（a+1）}{2a}≤1}\end{array}\right.$，或②$\left\{\begin{array}{l}{a≠0}\\{△＞0}\\{f（0）f（1）≤0}\end{array}\right.$，
由①得$\left\{\begin{array}{l}{a≠0}\\{{a}^{2}-6a+1=0}\\{a≥1或a≤-1}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{a≠0}\\{a=3+2\sqrt{2}或a=3-2\sqrt{2}}\\{a≥1或a≤-1}\end{array}\right.$，解得a=3+2$\sqrt{2}$．
由②得$\left\{\begin{array}{l}{a≠0}\\{a＞3+2\sqrt{2}或a＜3-2\sqrt{2}}\\{2×1≤0}\end{array}\right.$，此时不等式无解．
若方程ax²-（a+1）x+2=0在区间[0，1]上有两个实数根，
则$\left\{\begin{array}{l}{a＞0}\\{△＞0}\\{f（0）≥0，f（1）≥0}\\{0≤-\frac{-（a+1）}{2a}≤1}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{a＞0}\\{a＞3+2\sqrt{2}或a＜3-2\sqrt{2}}\\{1≥0，2≥0}\\{a≥1或a≤-1}\end{array}\right.$，解得a＞3+2$\sqrt{2}$．
若a＜0，∵f（0）=2＞0，
∴若x的方程ax²-（a+1）x+2=0在区间[0，1]上有实数根，
则f（1）≤0，
即a-a-1+2≤0，
即1≤0，此时不等式不成立，
综上a≥3+2$\sqrt{2}$．

点评 本题主要考查一元二次方程根的分布问题，利用函数和方程之间的关系是解决本题的关键．注意要进行分类讨论．