Question

【题目】已知函数.

（Ⅰ）求函数的单调区间；

（Ⅱ）若函数存在极小值点，且，求实数的取值范围.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）当时，函数的单调递减区间为；当时，函数的单调递增区间为，单调递减区间为；（Ⅱ） .

【解析】试题分析：（Ⅰ）求出， 分两种情况分别令得增区间， 得减区间；（Ⅱ）函数存在极小值点，所以在上存在两个零点， ，设为函数的极小值点，由，得，所以可得结果.

试题解析：（Ⅰ）因为函数，所以其定义域为.

所以 .

当时， ，函数在区间上单调递减.

当时， .

当时， ，函数在区间上单调递减.

当时， ，函数在区间上单调递增.

综上可知，当时，函数的单调递减区间为；当时，函数的单调递增区间为，单调递减区间为.

（Ⅱ）因为 ，

所以 （）.

因为函数存在极小值点，所以在上存在两个零点， ，且.

即方程的两个根为， ，且，

所以，解得.

则 .

当或时， ，当时， ，

所以函数的单调递减区间为与，单调递增区间为.

所以为函数的极小值点.

由，得.

由于等价于.

由，得，所以.

因为，所以有，即.

因为，所以.

解得.

所以实数的取值范围为.